Quando il genio del mistico, del religioso e dello scienziato s'incontrano, ecco nascere uno dei più eminenti personaggi che hanno segnato il corso della storia della moderna astronomia: Johannes Kepler. Noto principalmente per aver formulato le tre celebri leggi che portano il suo nome, Keplero compì, fra il 1604 e il 1611, anche importanti studi di ottica che lo condussero a concepire l'antesignano del nostro cannocchiale il quale, contrariamente a quello galileiano dalle limitate possibilità, impiegava come oculare una lente convessa; il campo visivo risultava così totalmente ribaltato, ma, nondimeno, l'osservazione risultava più agevole, soprattutto per la possibilità di raggiungere ingrandimenti molto elevati. Lo studio dell'ottica gli fece anche comprendere il funzionamento della camera oscura arrivando a supporre come il cervello interpreta le immagini che si formano capovolte sulla retina. Interessanti furono altresì gli studi matematici compiuti nel 1611, i primi sull'argomento, sulla distribuzione spaziale di piccole sfere strettamente impacchettate — di cui si servì per spiegare la forma delle cellette in un alveare — un'intuizione che parrebbe quel calcolo differenziale che sarà propriamente inventato e sviluppato in seguito da Newton. Fu anche il primo a dimostrare nel 1624 come funzionava la teoria dei logaritmi formulata dal matematico scozzese Nepero e che a quei tempi era considerata alquanto bizzarra, da relegarsi forse più nella sfera della filosofia matematica che in quella della scienza pratica. Ma, soprattutto, non si dimentichi che Keplero fu in grado di calcolare e preparare tavole astronomiche con una precisione mai raggiunta a quell'epoca (le Tavole Rudolfine del 1627), le quali non fecero che confermare la piena validità della teoria copernicana che ancora faticava a farsi strada soprattutto per l'ostruzionismo degli ambienti ecclesiastici. Tutto ciò è abbondantemente documentato in un copioso epistolario che allora faceva le veci di quei scientific journals che saranno di voga solo in tempi successivi. Un piccolo debito di gratitudine verso questo scienziato dovremmo averlo anche noi presenti quando studiamo i rudimenti di matematica e di astronomia: certi termini scientifici come fuoco (di ellisse o parabola), arco (di una curva), satellite (termine latino che significa "attendente"), inerzia sono stati inventati o introdotti per la prima volta da Keplero.
Il fanciullo e lo scienziatoKeplero nacque nel villaggio di Leonberg, poco distante dalla cittadina di Weil der Stadt (Germania) nel 1571, al tempo del Sacro Romano Impero. Il padre era un soldato di ventura, che scomparve quando il piccolo Johannes aveva solo 5 anni (si disse che fosse morto combattendo nei Paesi Bassi), mentre la madre era una locandiera esperta in arti magiche che aveva appreso dalla zia. Si può già capire da questo che l'infanzia di Keplero, unita alla sua salute cagionevole, non sia stata certo delle più felici! Com'era consuetudine, il ragazzo fu avviato agli studi ecclesiastici, dapprima in un seminario locale e in seguito, maturato il desiderio di prendere i voti, iscrivendosi alla prestigiosa università di Tubinga, baluardo, allora come oggi, dell'ortodossia luterana. Qui ebbe come insegnante il copernicano M. Maestlin, uno di più insigni matematici del tempo, anche se il piano di studi prevedeva l'insegnamento del sistema tolemaico, in accordo con la Augsburg Confession (la Confessione Augustana). Tuttavia, a differenza di Copernico che considerava la nuova teoria più come una speculazione matematica, senza quindi preoccuparsi più di tanto della forma effettiva che potevano assumere le orbite planetarie, Keplero era invece molto interessato a queste, al punto da tentar di capire se esistesse una sorta di forza emanata al Sole, idea rifiutata da Galileo, che potesse influenzare il moto dei pianeti. Queste sue congetture gli procurarono una montagna critiche da parte dei più oltranzisti della facoltà, al punto che Maestlin gli consigliò di abbandonare la carriera ecclesiastica e di trasferirsi a Graz per andare a occupare la cattedra di matematica divenuta improvvisamente vacante nel 1594. Come docente in questa scuola Keplero era tenuto a curare annualmente la compilazione di un calendario che, fra le altre cose, doveva prevedere il tempo, le crisi politiche, la salute pubblica e gli avvenimenti eccezionali. Purtroppo le predizioni di disgrazie gli riuscirono spesso e grazie al suo primo almanacco, quello del 1595, nel quale previde un inverno particolarmente rigido e un'invasione turca, si trovò famoso da un giorno all'altro. L'anno successivo pubblicava la sua prima opera, il Mysterium Cosmographicum in cui elaborava il suo modello cosmologico. Da buon euclideo riteneva che esistessero 5 solidi regolari e questi venivano invocati per spiegare quegli immensi spazi che dovevano separare i pianeti per render conto dei loro moti così come si osservavano da Terra basandosi sulla teoria eliocentrica.
Ricordiamo che la teoria tolemaica supponeva che le orbite planetarie fossero in contatto fra loro e che fosse il cosiddetto Primo Mobile a trasmettere il moto ai vari pianeti. La spiegazione che Keplero dava sulla posizione spaziale dei pianeti era curiosa: se si immagina una sfera col raggio pari all'orbita di Saturno e a questa s'inscrive un cubo, allora la sfera a sua volta inscritta in questo cubo avrebbe avuto il raggio uguale all'orbita di Giove. Se poi un tetraedro regolare veniva iscritto in questa seconda sfera, la sfera che a sua volta veniva inscritta nel tetraedro doveva avere le dimensioni dell'orbita di Marte; e così di seguito, ponendo successivamente un dodecaedro tra l'orbita di Marte e quella della Terra, un icosaedro tra la Terra e Venere infine un ottaedro tra Venere e Mercurio. Questo spiegava perfettamente il numero dei pianeti con quello dei 5 poliedri di Euclide. Agli occhi di noi moderni si tratta sicuramente di un'idea stravagante che tuttavia racchiude il pregio di stabilire una relazione matematica tra le distanze dei pianeti dal Sole e il loro periodo di rivoluzione, relazione che nel 1618 porterà lo scienziato tedesco a formulare la sua 3a legge. Se il Mysterium non fu particolarmente apprezzato da Galileo che era un classico fisico sperimentale, fu però tenuto in grande considerazione dall'astronomo danese Tycho Brahe, noto come Ticone, allora di stanza a Praga, il quale aveva accumulato un'impressionante mole di osservazioni planetarie pretelescopiche (soprattutto di Marte) di altissima precisione e che Keplero ebbe la fortuna di ereditare dopo essergli succeduto in qualità di matematico imperiale di Rodolfo II.
Le osservazioni di Tycho erano talmente precise che in base a esse Keplero fu in grado di scoprire la rifrazione atmosferica che, com'è noto, causa un piccolo spostamento apparente della posizione degli astri, tanto più pronunciata quanto più bassi si trovano sull'orizzonte. Eppure anche considerando questo fatto, l'orbita di Marte sembrava non volersi piegare a nessuna delle teorie fino ad allora formulate: uno scarto di posizione di soli 8 primi d'arco, un quarto del diametro apparente della Luna, metteva in crisi il sistema elaborato dall'astronomo danese, ossia quello di una Terra immobile attorno a cui orbitavano il Sole e la Luna mentre il corteggio dei 5 pianeti ruotava a sua volta attorno al Sole; d'altra parte, anche la migliore orbita calcolata da Keplero per render conto delle posizioni osservate non riusciva ad adattarsi in modo soddisfacente, a meno di non abbandonare l'idea di un'orbita circolare. Fu così che elaborando la mèsse di dati ereditata da Tycho e dopo aver riempito letteralmente migliaia di pagine di calcoli algebrici, intraprendendo quella che Keplero stesso definì "la mia guerra con Marte", l'astronomo tedesco arrivò a stabilire nel 1602 che il raggio vettore che va dal Sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali: questa è nota come la 2a legge di Keplero anche se in realtà fu scoperta per prima. La 1a legge venne formulata 3 anni dopo e afferma che le orbite planetarie sono ellittiche e che il Sole occupa uno dei fuochi. Entrambe le leggi vennero pubblicate nell'Astronomia Nova. Keplero era giunto a queste conclusioni studiando il moto di Marte, ma si rese conto ben presto che le leggi si applicavano indishueamente a tutti i pianeti e che solo la vicinanza alla Terra del pianeta rosso unita alla sua forte eccentricità orbitale erano stati i fattori in grado di minare la teoria cosmologica del grande Ticone.
Keplero non fu un uomo fortunato nella sua vita e non solo per l'atteggiamento tiepido con cui il mondo accademico aveva accolto le sue scoperte, sia nel campo dell'astronomia sia in quello dell'ottica; una serie spiacevoli eventi funestarono la sua vita già minata dalla sua gracile salute. Questi ebbero inizio con la morte del suo figlioletto di soli 7 anni seguita da quella della sua prima moglie. Poi l'imperatore Rodolfo, suo protettore e fervente cattolico, dovette abdicare per ragioni di salute in favore di suo fratello Mattia il quale, tuttavia, non fu altrettanto tollerante nei confronti dei Protestanti (nel 1618 sarebbe scoppiata la famigerata Guerra dei Trent'anni); Keplero si trovò così costretto a lasciare Praga e a stabilirsi a Linz in Austria. Ma i suoi guai, purtroppo, non erano destinati a finire presto. Mentre stava lavorando alla sua Armonia Mundi, un'opera che aveva già progettato di scrivere sin dal 1599 quale sviluppo del Misterium Cosmographicum e che contiene la famosa 3a legge, sua madre venne accusata e arrestata per stregoneria. A quel tempo, com'è tristemente noto, maghi e fattucchieri avevano in serbo una sorte miseranda e fu solo grazie all'influenza di Johannes presso la facoltà legale di Tubinga che la genitrice poté evitare di finire sul rogo. Eppure non si trattò di vero amore filiale considerata la stima che, a quanto si racconta, egli aveva di sua madre! Delle Tavole Rudolfine abbiamo già accennato; queste facevano di continuo riferimento alle osservazioni di Ticone integrate con le prime due leggi di Keplero ed erano così accurate che si mostrarono valide per i decenni a venire; si trattava di una pietra miliare che vedeva il tramonto definitivo del vecchio sistema tolemaico in favore del nuovo sistema copernicano. E tuttavia Keplero non se ne serviva per predizioni di tipo astrologico, come egli stesso dovette far presente anche al Duca di Wallenstein, uno dei leader della Guerra dei Trent'anni che si era rivolto a lui per avere consigli basati sull'astrologia: è vero che Keplero ammetteva un'influenza del Sole e della Luna su certi fatti che avvenivano sulla Terra (basti pensare al fenomeno delle maree), ma da buon copernicano non credeva certo nella realtà fisica delle costellazioni!
La grandezza di questo scienziato, come spesso accade, non fu riconosciuta ai suoi tempi, né la sua fama assurse mai al livello che avrebbe meritato. Morì miseramente nei pressi di Ratisbona nel 1630 durante un viaggio che aveva fatto da Linz per andare a riscuotere una somma di denaro in relazione alle Tavole Rudolfine di cui era creditore. Fu sepolto nel camposanto della chiesa di quella città, ma la sua tomba venne distrutta nel corso di quella guerra funesta e nulla è rimasto al giorno d'oggi. Ci è rimasta, però, la sua eredità scientifica racchiusa nelle 3 celebri leggi delle quali parleremo nella seconda parte. Ma cos'è stato Giovanni Keplero nella sua vita? Certamente non un grande osservatore, come del resto non lo furono Copernico e Newton, dal momento che il suo nome rimane per lo più legato a una supernova apparsa nel 1604 nella costellazione del Serpente e alla celebre congiunzione planetaria di Giove e Saturno avvenuta nei Pesci l'anno precedente e che lo portò a ipotizzare, per la prima volta, che un avvenimento analogo avvenuto nel 7 A.C. avesse effetti- vamente guidato i Magi nel lungo viaggio dalla Caldea a Gerusalemme. Fu sicuramente un uomo profondamente religioso. Tutti i suoi scritti contengono numerosi riferimenti a Dio e come cristiano si sentiva investito del dovere di studiare e comprendere l'opera divina nelle leggi che regolano l'universo. Era infatti convinto, raccogliendo l'antica eredità di Platone e Pitagora, che la Divinità avesse creato l'universo secondo un ben preciso schema matematico e che quindi solo la matematica, termine generico che a quel tempo comprendeva anche la geometria, l'astronomia e la musica, fosse il mezzo sicuro per arrivare a comprendere le verità del mondo che ci circonda. Non fu quindi soltanto un mistico o, addirittura, una mente irrazionale riguardo alle idee sul cosmo, come molti ce lo vorrebbero presentare, perché, al contrario, secondo Keplero, la creazione sarebbe pienamente manifesta attraverso leggi che possono essere sondate dalla ragione umana.
LE LEGGILa nostra dissertazione ci conduce adesso alle 3 celebri leggi di Keplero che ci serviranno per risolvere qualche semplice problema, avvalendoci delle sole 4 operazioni.
La 1a legge, affermando che "le orbite planetarie sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi", ci introduce nel concetto di "sezioni coniche", ossia quelle figure geometriche ottenute appunto sezionando un cono con un piano opportunamente inclinato rispetto all'asse o alle generatrici dello stesso. Le 3 figurine a lato mostrano schematicamente quello che stiamo dicendo: nella 1a vediamo il piano che taglia il cono parallelamente all'asse producendo un'iperbole.
nella 2a lo stesso piano è parallelo alle generatrici del cono e la figura risultante è una parabola; nella 3a l'inclinazione del piano ha un valore tale da produrre un'ellisse. È possibile visualizzare quanto abbiamo detto con un banalissimo esperimento: se poniamo una comune lampada accesa dotata di abat jour nei pressi di una parete, noteremo che la figura luminosa che si staglia su di essa varia a seconda dell'inclinazione della lampada stessa; se viene mantenuta appoggiata normalmente (caso della figura) vedremo proiettarsi un'iperbole, ma inclinandola opportunamente la figura varierà, in quanto la parete agisce appunto come un piano che seziona il cono luminoso uscente dall'abat jour.
L'ellisse è geometricamente definita come il luogo dei punti per i quali è costante la somma delle distanze tra un qualunque punto P e due punti fissi detti fuochi. Il rapporto tra la distanza dei fuochi e l'asse maggiore (ovvero tra la distanza centro-fuoco e il semiasse maggiore) è definito eccentricità dell'ellisse il suo valore, com'è facile intuire, può solo assumere un valore compreso tra 0 e 1: più il valore si avvicina a 1 più l'ellisse diviene molto allungato. Le eccentricità delle orbite planetarie sono tutto sommato modeste, comprese tra 0.007 (Venere) a 0.217 (Plutone); questo significa che se le rappresentiamo in scala differirebbero molto poco da una circonferenza. Il discorso è diverso per certe orbite cometarie che con eccentricità spesso superiori a 0.9 sono effettivamente delle ellissi molto schiacciate.
La 2a legge afferma che "il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali". È un modo per dire che tanto più il pianeta è vicino al Sole tanto più accelera sulla sua orbita. (se così non fosse prima o poi vi cadrebbe sopra!). È interessante notare che questa legge ci permette di calcolare in modo molto semplice la velocità di un pianeta (o di un satellite) in un qualunque punto dell'orbita senza ricorrere a complicate formule di matematica differenziale. Si consideri ad esempio Mercurio che possiede un'eccentricità orbitale fra le più elevate, cioè di 0,206 e proponiamoci, per semplificare, di trovare la velocità perielica.
La 3a legge è forse la più importante in quanto regola il comportamento fra più corpi orbitanti e come tale stata pienamente spiegata dopo la pubblicazione della Gravitazione Universale. Tuttavia, mentre quest'ultima è una legge dinamica, quella di Keplero, nella sua stesura originale, era puramente statica, nel senso che prescindeva totalmente dal concetto di massa. Noi, comunque, seguiremo il ragionamento inverso, ossia partiremo da questa 3a legge e dimostreremo che in essa è implicitamente contenuta la Gravitazione Universale.
La 3a legge di Keplero viene usualmente presentata in questo modo:
Tradotto significa che se prendiamo due pianeti (o due satelliti) qualsiasi, il rapporto dei quadrati dei periodi orbitali è uguale al rapporto dei cubi degli assi maggiori delle rispettive orbite. Se esprimiamo P in anni e a in unità astronomiche (UA), dal momento che per la Terra questi 2 valori, per definizione, valgono 1, la formula sopra scritta diviene semplicemente:
P2 = a3 ossia P = Ö a3
Questo ci fornisce un sistema molto semplice per determinare i periodi di rivoluzione dei pianeti conoscendo la loro distanza dal Sole (e viceversa, invertendo opportunamente la formula). Prendiamo, ad esempio, Giove. Il gigante del Sistema Solare è distante 5,2 UA dalla nostra Stella. Il suo periodo orbitale varrà pertanto:
P = Ö (5,2)3 = 11,85 anni
Dicevamo che la 3a legge di Keplero prescinde dalla massa dei corpi orbitanti. Nella realtà questo è valido in prima approssimazione per i pianeti, i quali hanno una massa trascurabile rispetto al Sole (persino la massa di Giove ne è solo la millesima parte!). Le cose sono ben diverse nel caso di 2 stelle di massa simile appartenenti a un sistema doppio, ovvero di un oggetto di massa non trascurabile orbitante attorno al corpo principale, come la Luna nei confronti della Terra. In questo caso dobbiamo obbligatoriamente introdurre le masse nella formula che esprime la legge, la quale diviene:
dove M è la massa dell'ipotetico corpo centrale in masse solari, m1 ed m2 quelle dei 2 corpi orbitanti. Da quest'ultima formula si scopre subito che per valori di m1 ed m2 tendenti a zero ritroviamo subito la (1), com'è logico. Se però vogliamo vedere cosa succede se, alla distanza di 1 UA, anziché il Sole e la Terra ci fossero 2 stelle di una massa solare ciascuna, dobbiamo porre m1 = M e trascurare il contributo di m2. In questo caso la (2) diviene:
che dopo alcuni passaggi algebrici, omessi per brevità, ci conduce alla seguente espressione:
Se poniamo i valori di a situati sotto il radicale al 2° membro uguali a 1 (nel caso che le 2 stelle si trovino a 1 UA) e P22 = 1 anno (in riferimento al periodo orbitale della Terra) la (3) diviene:
P = 1 / Ö 2
ossia 0,7 anni.
In altri termini il periodo orbitale si riduce. Ciò è ancora una volta abbastanza intuitivo in quanto fissata una certa distanza — nella fattispecie 1 UA — ci aspettiamo che i due corpi ruotino uno attorno all'altro più velocemente per evitare che l'attrazione gravitazionale, divenuta più forte, li faccia spiraleggiare e quindi collidere.
Un'applicazione pratica di quanto abbiamo esposto, ossia di masse orbitanti non trascurabili, la troviamo nel caso del sistema Terra-Luna.
